\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\title{二次曲面}
\author{89013900 數二A 周恩冉}

\begin{document}
\maketitle

\section{橢圓體 (The Ellipsoid)}
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
$$
橢圓錐以原點為中心且對稱於三個座標平面。它與三個座標軸相交於六點：
 $(\pm a, 0, 0)$ ， $(0, \pm b, 0)$ ， $(0, 0, \pm c)$ 。
這些點稱為\textit{頂點（vertices）}。它的表面是有界（bounded）的，
而且包含於 $|x| \leq a$ ， $|y| \leq b$ ， $|z| \leq c$ 這個長方體。
三條軌跡都是橢圓形；例如，在 $xy$ -平面（設 $z = 0$ ）上的軌跡是橢圓形
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\footnote{穿過這個截面我們取 a, b, c 為正數。}
$$
平行於座標平面的截面也是橢圓形；例如，取 $y = y_0$ 我們可得到
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 - \frac{y^2_0}{b^2}
$$
這個橢圓形是橢圓體與 $y = y_0$ 相交所得到的。
$a$ ， $b$ ， $c$ 這三個數字稱為橢圓體的\textit{半軸（semiaxes）}。
如果有兩個半軸是相等的，
那我們就得到\textit{橢圓體的旋轉（ellipsoidd of revolution）}。
（例如如果 $a = c$ ，那麼所有與平行於 $xz$ -平面的切面都是圓形
而且它的表面可以透過在 $xy$ -平面的軌跡對 $y$ -軸旋轉得到。）
如果所有的半軸都相等，那麼它的表面就會是一個\textit{球體（sphere）}。

\pagebreak

\section{單葉雙曲面 (The Hyperboloid of One Sheet)}
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1
$$
它的表面是無界（unbounded）的。它以原點為中心而且對稱於三個座標平面。
它的表面與座標軸相交於四點： $(\pm a, 0, 0)$ ， $(0, \pm, 0)$ 。
它在 $xy$ -平面（設 $z = 0$ ）上的軌跡是橢圓形
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
平行於 $xy$ -平面的截面是橢圓形。在 $xz$ -平面（設 $y = 0$ ）上的軌跡是雙曲線
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1
$$
而且在 $yz$ -平面（設 $x = 0$ ）的軌跡是雙曲線
$$
\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1
$$
平行於 $xz$ -平面或是 $yz$ -平面的截面是雙曲線。如果 $a = b$ ，
那麼平行於 $xy$ -平面的截面是圓形而且我們得到一個
\textit{雙曲面的旋轉（hyperboloid of revolution）}。

\pagebreak

\section{雙葉雙曲面 (The Hyperboliid of Two Sheets)}
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1
$$
它的表面與座標軸只相交於兩個頂點 $(0, 0, \pm c)$ 。
它的表面由兩部份所組成：其一是 $z \ge c$ ，另一是 $x \le -c$ 。
我們可以了解這件事藉由重寫方程式為
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2} - 1
$$
而且要注意我們必須要有
$$
\frac{z^2}{c^2} - 1 \ge 0
$$
才能使 $x$ 及 $y$ 都有解。根據 $z^2 \ge c^2$，也就是 $|z| \ge c$ 。
每一部份都是無界的。平行於 $xy$ -平面的截面是橢圓形：
對於 $z = z_0$ 在 $|z_0| \ge c$ 之時，我們得到
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2_0}{c^2} - 1
$$
平行於其他座標平面的截面是雙曲線；例如，對於 $y = y_0$ 我們得到
$$
\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 - \frac{y^2_0}{b^2}
$$
它的表面是對稱於三個座標平面且以原點為中心。

\section{橢圓錐面 (The Elliptic Cone)}
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z^2
$$
它的表面只與座標軸相交於原點。它的表面是無界的。又一次它對稱於三個座標平面。
在 $xz$ -平面上的軌跡是一組相交的直線： $z = \pm \frac{x}{a}$ 。
在 $yz$ -平面上的軌跡也是一組相交的直線： $z = \pm \frac{y}{b}$。
在 $xy$ -平面上的軌跡只是原點。
平行於 $xy$ -平面的截面是橢圓。
如果 $a = b$ ， 這些截面是圓形而且我們一般稱為
\textit{雙圓錐（double circular cone）}或是簡稱為\textit{圓錐（cone）}。
圓錐的上半部及下半部被稱為\textit{半圓錐（nappes）}。

\vskip 0.4in

我們現在來到\textit{拋物面（paraboloids）}。
方程式的一般式將專注在 $x^2$ 及 $y^2$ ，
但接著的是 $z$ 而不是 $z^2$。

\pagebreak

\section{橢圓拋物面 (The Elliptic Paraboloid)}
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z
$$
它的表面不會延伸到 $xy$ -平面的下方；它是有無上界（unbounded above）的。
原點被稱為是\textit{頂點（vertics）}。
平行於 $xy$ -平面的截面是橢圓：平行於其他座標平面的截面是拋物線。
因此名稱為``橢圓拋物面''它的表面對稱於$xz$ -平面上及$yz$ -平面。
它也對稱於 $z$ -軸。如果 $a = b$ ，
那麼它的表面是\textit{拋物面的旋轉（paraboloid of revolution）}。

\section{雙曲拋物面 (The Hyperbolic Paraboloid)}
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z
$$
這裡它對稱於　$xz$ -平面以及　$yz$ -平面。
平行於 $xy$ -平面的截面是雙曲線﹔平行於其他座標平面的截面是拋物線。
因此名稱為``雙曲拋物面''原點是在 $xz$ -平面上的軌跡中的極小點，
但軌跡中的極大點是在　$yz$ -平面上。
原點稱為\textit{最小最大點（minimax）}或是\textit{鞍點（saddle）}。
\textit{注意：}圖中座標軸改變方向是為了方便觀察表面。

\vskip 0.4in

剩下的二次曲面是\textit{柱面（cylinders）}。它的名稱恰如定義。
任取一個平面曲線 $C$。它表面上全部經過 $C$ 的直線都垂直於 $C$ 平面。
（All the lines through $C$ that are perpendicular to the plane of $C$ from a surface.）
這樣的一個表面稱為\textit{柱面}，
這個柱面包含有\textit{基準曲線（base curve）} $C$。
這些垂直的線就是我們所知道的該柱面的\textit{母線（generators）}。

如果基準曲線位於 $xy$ -平面上（或是在平行於 $xy$ -平面的平面上），
那麼這個柱面的母線是平行於 $z$ -軸。
在這樣的情況下柱面的方程式只涉及到 $x$ 與 $y$。
$z$ -座標是不受限制的﹔所有的值都可用。

二次柱面有三種基本形式。我們給你方程式的一般式：
基準曲線落在 $xy$ -平面上，母線平行於 $z$ -軸。

\pagebreak

\section{拋物柱面 (The Parabolic Cylinder)}
$$
x^2 = 4cy
$$
這個的表面的形式是所有經過拋物線 $x^2 = 4cy$ 而且垂直於 $xy$ -平面的直線。

\section{橢圓柱面 (The Elliptic Cylinder)}
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
這個的表面的形式是所有經過這個橢圓的直線
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
並且垂直於　$xy$ -平面。如果 $a = b$ ，那麼我們就得到一般的
\textit{正圓柱面（right circular cylinder）}。

\section{雙曲柱面 (The Hyperbolic Cylinder)}
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
它的表面分為兩部分，每一部份都由雙曲線的一個分支所生成
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
$$

\end{document}